利用李群方法求BBM-Burgers方程行波解的首次积分

何晓莹,赵展辉

(广西科技大学理学院,广西柳州545006)

摘要:运用李群理论,证明了BBM-Burgers方程的行波解所满足的二阶非线性自治系统在参数满足一定关系时,在经典意义下容许一个两参数李群,可用积分法求出其首次积分.

关键词:BBM-Burgers方程;单参数李群;首次积分

0 引言

物理、化学、生物、工程技术等都存在大量的、重要的非线性问题,这些问题的研究最终可用非线性波动方程这个数学模型来描述.对于这些方程的精确解的研究已涌现了大量方法[1-2],而对于这些方程可积性的研究也是人们关注的问题.目前有很多种方法判别方程的可积性.如李群理论[3-6],Liouville可积性理论[7-8]等.

本文研究BBM-Burgers方程

其中:α,β是实参数.

令其行波解

方程(1)化为:

1 寻找李群

考虑依赖于单参数ε的李变换

其中:φ和ψ是光滑函数.当参数ε很小时,q*和ρ*可展开为:

其中:

定义1

为一单参数李群的无穷小生成元,称:

为其二次扩展.其中有如下变化:

若李变换群有2个独立的参数ε1,ε2,存在无穷小生成元

它们对李括号运算是封闭的,即:

结构常数满足反对称性

及Jacobi等式

则存在以这组常数为结构常数的两参数的李群.

定义2给定的二阶常微分方程

若有

则称方程(9)容许以Λ(2)为无穷小生成元的李群.

从方程(10)确定未知函数ζ(q,ρ),η(q,ρ),找出系统所容许的李群.

2 求解首次积分

考虑自治系统

其中:x=(x1,x2,…,xn)∈D,D为Rn(或Cn)的子域,Xi∶D→R(或C),Xi∈C(D),t∈R(或C).相对应的一阶偏微分算子为

定义3自治系统(11)容许单参数李变换群G是指在李群变换

下,系统(11)的积分曲线仍变成该系统的积分曲线.

文献[9]证明了下面结论.

引理1系统(11)容许李群G充要条件是存在函数A(x),使得:

定义4设系统(11)所容许的n-1个单参数李群的生成元为:

若有:

则称系统(11)与所容许的n-1个单参数李群相互独立.

引理2若系统(11)与所容许的n-1个单参数李群生成元相互独立,则有:

其中是系统的常数或首次积分可以为任意函数.

引理3若系统(11)与所容许的n-1个单参数李群生成元相互独立,且式(16)中的结构系数(i,j,k=1,2,…,n)都是常数,若方程组:

存在一组非零解(b1,b2,…,bn-1),令:

解出(f1,f2,…,fn),系统(11)的一个首次积分Ω(x)就可通过道路积分(积分与路径无关)得到:

3 求BBM-Burgers方程行波解的首次积分

将上方法应用到方程(2)上,可以得到下述定理:

定理1对于任何参数,方程(2)均容许一个单参数李群,其生成元为:

当条件(C1)4α2+3βc(c-1)=0满足时,方程(2)容许一个两参数李群.

证明:对方程(2),令,得函数F为:

对应的等式(10)为:

无论α,β,k,d取何值,当ζ(q,ρ)=1,η(q,ρ)=0,式(21)都成立.此时生成元是式(20).

现寻找不同于式(20)的生成元.在式(21)中,由于未知函数ζ(q,ρ)和η(q,ρ)不依赖于ρ1,故ρ1(i=0,1,2,3)的系数恒为0.可得:

由式(22)、式(23)可得:

其中:A(q),B(q),D(q),E(q)是待定函数.简记为A,B,D,E,取E=0,将式(26)代入式(24),整理得到:

要使式(27)成立,须ρi(i=0,1,2)的系数全为0.首先考虑ρ2系数,有:

式(27)化简为:

将式(28)代入式(25)可得:

由式(30)中ρ2的系数为0,得到:

再将式(31)代入式(29)得:

故解得:

将式(31)、式(32)代入式(30),简化为:

为定理中的条件(C1).这时可得到:

对应的单参数李群的生成元为:

令C=0,C1=1,生成元式(34)就化为式(20).若令C=1,C1=0,式(34)化为:

计算李括号

因此,当条件(C1)满足时,方程(2)容许Λ1,Λ为生成元的两参数李群.定理1获证.

二阶常微分方程(9)可以化为如下的三阶自治系统:

其中:变量x1,x2,x3分别对应方程(9)中的变量q,ρ,ρ1.

引理4如果按经典理论方程(9)容许生成元为方程(5)的群,则系统(36)按定义容许生成元为:

的李群,其中η1由式(7)给出.

下面求解条件(C1)下方程的首次积分,此时对应于自治系统(36)的偏微分算子为:

根据引理1引理4,自治系统(36)容许2个单参数李群,生成元分别为:

计算李括号:

相应的结构系数为:

对应于引理3中方程组(17)的非零解为b1=1,b2=0.再由方程组(18)解得:

计算道路积分,得到自治系统的一个首次积分:

参考文献:

[1]何晓莹,赵展辉,韩松.应用首次积分法求非线性薛定谔方程的精确解[J].广西科技大学学报,2014,25(4):19-22.

[2]何晓莹,赵展辉.(3+1)-维非线性方程的呼吸类和周期类孤子解[J].广西科技大学学报,2015,26(4):17-25.

[3]OLVER P J.Application of lie groups to differential equations[M].New York:Springer-Verlag,1986.

[4]BLUMAN G W,KUMEI S.Symmetric and differential equations[M].New York:Springer-Verlag,1989.

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[6]刘明惠,管克英.借助Lie群研究Burgers-KdV方程行波解得可积性[J].应用数学学报,2011,34(3):400-411.

[7]SINGER M F.Liouvillian first integrals of differential equations[J].Trans.Amer.Math.Soc,1992(333):673-688.

[8]GUAN K Y,LEI J Z.Integrability of second order autonomous system[J].Ann.of Diff.Eqs.,2002(18):117-135.

[9]GUAN K L,LIU S,JIN Z.Lie algebra admitted by an ordinary differential equation system[J].Ann.of Diff.Eqs.,1998,14(2):131-142.

Application of Lie group in the first integral for BBM-Burgers equation travelling wave solution

HE Xiao-ying,ZHAO Zhan-hui
(College of Science,Guangxi University of Science and Technology,Liuzhou 545006,China)

Abstract:For BBM-Burgers equation travelling wave solution,which satisfies the second order nonlinear autonomous system,we will apply the Lie group theory to show that the corresponding travelling wave equation admits a double parameter Lie Group in classical sense when the parameter satisfies certain relations.The first integral of the system is solved by the method of integration.

Key words:BBM-Burgers equation;single parameter Lie group;first integral

中图分类号:O175.1

文献标志码::A

文章编号:2095-7335(2017)01-0019-06

DOI:10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2017.01.004

(学科编辑:张玉凤)

收稿日期:2016-10-09

基金项目:国家自然科学基金资助项目(11061028,11061003);广西工学院科学基金项目(院科自1307115)资助.

作者简介:何晓莹,讲师,研究方向:可积系统与孤子理论,E-mail:hexiaoying0331@qq.com.