(3+1)维Jimbo-Miwa方程的非行波解

熊维玲,甘桦源

(广西科技大学理学院,广西柳州545006)

摘要:利用李群分析法得到(3+1)维Jimbo-Miwa方程的一个对称和两个对称约化方程.通过行波变换将对称约化方程转换为复域的常微分方程,给出复域的常微分方程的亚纯解结构,从而得到了(3+1)维Jimbo-Miwa方程的两类非行波解的结构,并给出该方程的新的非行波精确解.

关键词:(3+1)维Jimbo-Miwa方程;非行波解;李群分析法;对称约化方程;精确解

0 引言

(3+1)维Jimbo-Miwa方程的形式为:

近年来,文献[1-3]利用不同的方法对方程(1)进行研究,得到了各式各样的精确解.

做行波变换u=u(ζ),ζ=a1x+a2y+a3z+a4t,记v=u′,则方程(1)化为:

本文利用李群分析法[4]得到方程(1)的两个对称约化方程:

做行波变换ψ=ψ(ζ),ζ=a1x+a2y+a3z,记v=ψ′,则方程(3)下化为:

做行波变换ψ=ψ(ζ),ζ=a1x+a2ζ+a3η,记v=ψ′,则方程(4)化为:

显然方程(2)、方程(5)、方程(6)的一般形式为:

当k2=0时,方程(7)变为代数方程k1v+k3v2=C,此时v显然为常数函数.

当k3=0,k2≠0时,方程(7)变为常微分方程k1v+k2v"=C,其解为:

通过研究k2k3≠0的情况下方程(7)的亚纯解的结构,从而得到方程(1)的亚纯行波解的结构,以及两类非行波解的结构,进一步可得到新的非行波精确解.

为表示方便,记φ(z)均为Weierstrass椭圆函数

1 引理

引理1[5]若以z=0为q级极点的Laurent级数满足方程:

其主要部分只有p种形式,且deg(Pj(w)(w(m)j1)<n,则式(8)的所有亚纯解仅有下列3种可能的形式:

1)w(z)为最多有p个极点的有理函数;

2)w(z)=R(ecz),其中R(z);

3)w(z)是双周期2w1,2w2的椭圆函数,在每个基本周期格内至多有l≤p个不同的q级极点.且

若w(ζ)为偶函数,则w(ζ)=Q1(φ(ζ));

若w(ζ)为奇函数

若w(ζ)为非偶非奇函数,则w(ζ)=Q1(φ(ζ))+φ′(ζ)Q2(φ(ζ)).

这里Q1(z),Q2(z)均为形如下面的有理函数:

其中.如果φ(ζ)的极点不是w(ζ)的极点,则q0=0.

引理2当k2k3≠0时,方程k1v+k2v"+k3v2=C没有非常数整函数解.

证明:如果v是方程k1v+k2v"+k3v2=C的一个非常数整函数解,显然v不为非常数多项式,且N(r,v)=0.将方程k1v+k2v"+k3v2=C转化成k1v+k3v2-C=-k2v"的形式,得到:

故:T(r,v)=S(r,v),从而得到v为常数,与假设相矛盾.

引理3[6]椭圆函数没有P-例外值,但是一定会有极点.

2 方程(7)的非常数亚纯解

定理1在k2k3≠0的条件下,方程(7)的非常数亚纯解只可能是下面3类表达形式:

1)v(ζ)为有理函数,当且仅当

2)v(ζ)=R(e),z=e,c∈C,当且仅当

3)v(ζ)一定不是奇函数,并且v(ζ)=Q1(φ(ζ))+φ′(ζ)Q2(φ(ζ)),如果v(ζ)为偶函数,Q2(z)=0.其中:z1≠0,且Q1,Q2为下面情形之一:

证明:

Step1确定方程(7)的亚纯解的类型

,代入到方程(7)中,有:

进而有,其中p(ζ)为某个邻域U(0,δ)内的解析函数.

根据引理1,可以得到方程(7)的所有非常数亚纯解的表达形式只可能有下列3种形式:

形式1v(ζ)为有理函数,且最多只有1个二级极点.

形式2v(z)=R(e),c∈C,其中R(z)为最多有1个极点的有理函数.

形式3v(ζ)为双周期椭圆函数,并且在每个基本周期格内最多只有1个二级极点.

Step2确定方程(7)中的所有非常数亚纯解的具体表达形式

形式1v(ζ)为有理函数,且最多只有1个极点,并且极点都是二级的.

引理2及方程(7),设代入式(7)中,经整理得:

所以,

因此

形式2v(ζ)=R(e),z=e,其中R(z)为至多有1个极点的有理函数.

将v(ζ)=R(e)代入方程(7),有k1(R(e))+k2(c2eR′(e)+c2(e2R"(e))+k3R2(e)=C.因此,

由式(9)容易知道0不是R(z)的极点.

由于v(ζ)的极点都是二级的,而ez没有非0的P-例外值,结合引理2及式(9),设:

所以,

因此

形式3v(ζ)为双周期椭圆函数,并且在每个周期格内仅有1个二级极点.

当v(ζ)为奇函数时,由于k1v(ζ)+k2v"(ζ)为奇函数,-k3v2(ζ)+C为偶函数,方程(7)可以改写为k1v+k2v"= -k3v2+C.则有k1v+k2v"=0,-k3v2+C=0.所以得到v(ζ)是常数函数,故与假设矛盾.

当v(ζ)为非奇非偶函数时,由引理1,设v(ζ)=Q1(φ(ζ))+φ′(ζ)Q2(φ(ζ)),其中:

由于φ(ζ)一定有极点,且极点为二级的,但v(ζ)的极点也为二级的,有c0′=c′-1=0;因此,

将v(ζ)=Q1(φ(ζ))+φ′(ζ)Q2(φ(ζ))代入方程(7),结合φ′2=4φ3-g2φ-g3,整理得:

考虑式(10)左右边次数的奇偶性,有:

将上面两式分别展开成z-z1的幂的形式,并令各项系数等于0,整理得:

因此

当v(ζ)为偶函数时,由引理1,设v(ζ)=Q1(φ(ζ)),其中:

类似v(ζ)为非奇非偶情形的讨论,只要取Q2(z)=0,即c′-2=0,c′-1=0,可得Q1(z)只可能为下面的4种形式:

定理1证毕.

3 (3+1)维Jimbo-Miwa方程的行波解

定理1,即可得到下面的定理2.

定理2设ζ=a1x+a2y+a3z+a4t,a1a2≠0,则方程(1)的非常数行波解u=u(ζ)只可能是下面3类表达形式:

1)u(ζ)为有理函数的情形,当且仅当

2)u(ζ)为有理函数与指数函数的复合情形,当且仅当

3)u(ζ)=∫v(ζ)dζ,其中v(ζ)一定不是奇函数,并且v(ζ)=Q1(φ(ζ))+φ′(ζ)Q2(φ(ζ)),z1≠0.如果v(ζ)为偶函数,Q2(z)=0,且Q1,Q2为下面情形之一:

4 (3+1)维Jimbo-Miwa方程的非行波解

4.1 (3+1)维Jimbo-Miwa方程的对称

设σ=σ(x,y,z,t,ux,uy,uz,ut,…)是方程(1)的对称,则:

设σ有如下形式:

其中:a,b,c,d,e,f分别是关于x,y,z,t的待定函数.

将式(12)代入式(11),结合uxxxy+3uyuxx+3uxuxy+2uyt-3uxz=0,整理得:

令式(13)各项系数全为0,可以得到关于a,b,c,d,e,f的一个方程组,求得如下一组解:

将式(14)代入式(12),得到方程(1)的一个对称

4.2 (3+1)维Jimbo-Miwa方程的对称约化

解特征方程σ=0,即:

对式(15)中的参数适当选择,可以得到不同的对称约化方程.本论文给出下面两种对称约化方程:

对称约化方程1:取h1(z)=h2(t)=k=k3=k4=0,k1=1,h3(z,t)=z,则由σ=0得到相似解:

从而得到方程(1)的一个对称约化方程:

即为前面所提及的方程(3).

对称约化方程2:取h1(z)=h2(t)=k=0,k1=k3=k4=1,则由σ=0得到相似解:

其中:ζ=y-t,η=z-t.从而得到方程(1)的另一个对称约化方程:

即为前面所提及的方程(4).

4.3 (3+1)维Jimbo-Miwa方程的非行波解

定理1,即可得到下面的结论.

4.3.1 第一种类型的非行波解

定理3设ζ=a1x+a2y+a3z,a1a2≠0,ψ(ζ)为亚纯函数.则方程(1)形如u=zt+ψ(x,y,z)类型的非常数解只可能是下面3类表达形式:

1)ψ(ζ)为有理函数的情形,当且仅当

2)ψ(ζ)为有理函数与指数函数的复合情形,当且仅当

3)u(ζ)=∫v(ζ)dζ,其中:v(ζ)一定不是奇函数,并且v(ζ)=Q1(φ(ζ))+φ′(ζ)Q2(φ(ζ)),z1≠0.如果v(ζ)为偶函数,Q2(z)=0.这里:

4.3.2 第二种类型的非行波解

定理4设ζ=a1x+a2ζ+a3η,ζ=y-t,η=z-t,ψ(ζ)为亚纯函数.则方程(1)形如u=h4(z,t)+ψ(x,ζ,η)类型的非常数解只可能是下面3类表达形式:

1)ψ(ζ)为有理函数的情形,当且仅当

2)ψ(ζ)为有理函数与指数函数的复合情形,当且仅当

3)u(ζ)=∫v(ζ)dζ,其中:v(ζ)一定不是奇函数,并且v(ζ)=Q1(φ(ζ))+φ′(ζ)Q2(φ(ζ)),z1≠0.如果v(ζ)为偶函数,Q2(z)=0.这里:

参考文献:

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[2]李富志,刘希强.Jimbo-Miwa方程的对称约化及不变解[J].量子电子学报,2008,25(2):155-160.

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[8]何晓莹,赵展辉.(3+1)维非线性方程的呼吸类和周期类孤子解[J].广西科技大学学报,2015,26(4):18-20.

Non-traveling wave solutions of(3+1)-D Jimbo-Miwa equation

XIONG Wei-ling,GAN Hua-yuan
(College of Science,Guangxi University of Science and Technology,Liuzhou 545006,China)

Abstract:In this paper,the extract solutions for(3+1)-D Jimbo-Miwa equation have been investigated.One symmetry and two symmetry reduced equations of(3+1)-D Jimbo-Miwa equation are obtained by Lie-group analysis method,which are changed into ordinary differential equations in complex domain by traveling wave transformation.The two classes of non traveling wave solutions for(3+1)-D Jimbo-Miwa equation are constructed making use of the structure of meromorphic solutions for the corresponding ordinary differential equations in complex domain.Meanwhile,the new non traveling wave extract solutions for it are obtained.

Key words:(3+1)-D Jimbo-Miwa equation;non traveling wave solution;Lie-group analysis method;symmetry reduced equation;extract solutions

中图分类号:O175.4

文献标志码::A

文章编号:2095-7335(2017)01-0012-07

DOI:10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2017.01.003

(学科编辑:张玉凤)

收稿日期:2016-09-18

基金项目:国家自然科学基金项目(11271090)资助.

作者简介:熊维玲,教授,研究方向:复分析,E-mail:xiongwl@163.com.