分析微梁尺寸效应的传递矩阵法

李晓妮1,2,程涛*1

(1.广西科技大学汽车与交通学院,广西柳州545006;2.西安交通大学航天航空学院,陕西西安710049)

摘要:微梁是微机电系统中的常见结构,尺寸效应是微梁不同于其他梁的重要特征.基于偶应力理论和最小势能原理,推导了微梁弯曲时一阶微分方程组和边界条件,通过引入状态向量,建立微梁状态向量间的传递关系,得到系统的状态空间方程,并借助精细积分法求解传递矩阵,建立了一种分析微梁尺寸效应的高精度传递矩阵法.数值结果验证了本文的有效性.

关键词:微梁;尺寸效应;传递矩阵法;偶应力

0 引言

随着微机电系统(MEMS,Micro-Electro-Mechanical System)在航天航空,机械电子,生物医学等领域的广泛应用,有关微尺度问题受到了众多学者的关注.微梁是微机电系统(MEMS)中常见的微结构,它们的尺寸通常是微米或亚微米量级的.很多实验发现这类微结构的力学行为与结构尺寸相关(即微尺度效应),这是经典弹性理论无法解释的.20世纪60年代出现的弹性偶应力理论对这一现象做出了合理的解释.Yang等[1]改进了偶应力理论(修正偶应力理论),将描述尺度效应的两个附加常数减少为一个,大大地降低偶应力理论的应用难度.

最近几年,偶应力理论被应用到更多新的领域.文献[2-3]将偶应力理论应用于层合梁,分析其大变形下的稳定性和尺度效应.苏文政等[4]建立了多孔固体的等效偶应力动力学一维铁木辛柯梁模型.崔可兴等[5]基于应变梯度理论对压电振动能量采集器进行建模和尺度效应分析.

除了在多个实际工程领域的应用,基于偶应力理论的数值求解方法也不断被报道.Kahrobaiyan等[6]基于修正偶应力理论和有限元理论建立了能够反映微梁尺寸效应的一种新的梁单元.颜世军等[7]和陈万吉等[8]基于修正偶应力理论建立了线弹性体和层合板的有限元方法,分析结构的尺寸效应.杨海天等[9]将无网格伽辽金法用于求解平面偶应力问题,分析了微结构的尺度效应.王卫东等[10]基于偶应力理论,采用non-Sibsonian插值的自然单元法,求解了薄梁弯曲问题.这些求解方法在偶应力问题中的应用进一步促进了偶应力理论的完善和发展.

传递矩阵法具有原理简单、求解精度和效率较高等特点,本文将其与偶应力理论结合起来,分析微梁的尺寸效应.首先基于修正的偶应力理论,推导微梁弯曲时一阶微分方程组,建立系统状态变量之间的传递关系,得到系统的状态空间方程,并采用精细积分法求解传递矩阵,建立了一种分析微梁尺寸效应的传递矩阵法.

1 基于修正偶应力理论的微梁理论模型

与经典弹性理论不同,偶应力理论在应力张量和位移矢量的基础上,增加了可以描述微尺度效应的偶应力张量和旋转矢量.由于构造方式的不同,偶应力理论种类繁多.Yang等[1]的修正偶应力理论由偶应力理论发展而来,通过重新定义曲率张量,使得应变能密度只与应变和曲率张量的对称部分有关,且在本构方程中只需一个描述尺度效应的参数.

1.1 修正偶应力理论

根据修正偶应力理论[1],线性各向同性弹性体的应变能密度为:

其中:

式中σij,εij,mij,χij分别为Cauchy应力张量的对称部分、应变张量的对称部分、偶应力张量的偏斜部分和曲率张量的对称部分.λ和G为拉梅常数,l为材料尺度参数分别为位移和旋转矢量,且有:

1.2 修正偶应力理论下微梁的一阶微分控制方程组

欧拉-伯努利梁理论下,图1所示微梁的位移分量为:

其中φ(x)为横截面转角,w(x)为中性轴的z向位移.当微梁发生小变形时,转角和位移近似有如下关系:

图1 微梁坐标系示意图
Fig.1 The coordinate system of the micro-beam

将位移场式(7)和式(8)代入式(3)、式(5)和式(6),可得:

对于细长梁,泊松效应忽略不计,则式(2)中应力分量σxx=Eεxx,其余σij=0.

式(4)中的偶应力分量

其中E,A分别为弹性模量和横截面面积.

微梁应变能密度的变分:

其中,I为横截面惯性矩.

外力功的变分:

其中:q为作用于梁上的横向分布载荷,F¯S,M¯为作用于梁两端截面上的横向力和弯矩.根据最小势能原理:

有:

可得微梁的控制方程:

和边界条件:

注意到:

利用式(8),上式变为:

为了得到一阶微分控制方程,又令:

则式(9)可表示为:

联合式(8)、式(10)~式(12),可得微梁考虑尺寸效应的一阶微分控制方程组:

则无量纲化的一阶微分方程组为:

如果材料尺寸参数l=0,则Yxy=0,式(13)退化为经典梁理论的一阶微分方程组.

1.3 传递矩阵法求解一阶微分控制方程组

由于微梁的控制微分方程组中含有非齐次项,无法直接采用传递矩阵来表示状态向量间的传递关系,需要对式(13)的非齐次微分方程组进行齐次化.采用向宇等[11-13]提出的齐次扩容精细积分法,将ζ∈[0 1]区间进行n等分,将式(13)的非齐次项在ζk(k=0,1,2,…,n-1)处泰勒展开,取二次项,可得状态向量扩容后的微分方程组:

其中:状态向量

则方程(14)的解为:

其中:Tk=exp(Hk)是微梁各区间端点状态变量间的传递矩阵,这里采用精细积分法求解该矩阵.根据式(15)中状态变量之间的传递关系,可得微梁两边界处状态变量间的传递关系:

一般情况下,微梁在边界ζ=0处的状态变量V0并不完全已知,需要联合ζ=1处Vn的部分已知量,采用打靶法的思想迭代求解V0中未知量.迭代求解得到V0后,利用微梁状态向量的传递关系式(15),可以求得梁上任意处的位移、转角和内力.

微梁上作用有分布载荷或集中力时,如算例2中简支梁算例的情况,首先根据载荷情况对梁分段,由于两端交界面两侧的状态向量因载荷变化而不同,需根据连续性和载荷条件修改相应的状态向量,再进行计算.

2 算例验证

算例1图2所示悬臂梁的自由端作用一集中力P=30 μN,横截面的厚度为h,宽度和长度分别为b=2 h和L=20 h.微梁采用的是环氧树脂材料,根据文献[14-15],材料的弹性模量E=1.44 GPa,剪切弹性模量G= 521.7 MPa,尺寸效应参数l=17.6 μm.根据文献[15]自由端作用集中力P的悬臂梁考虑尺寸效应时,挠度解析解为

当l=0时,上式为经典Euler-Bernoulli梁挠度解.

图2 悬臂微梁简图
Fig.2 Schematic diagram of the cantilever micro-beam

图3 为悬臂微梁自由端挠度的偶应力理论解与经典解之比随厚度变化曲线,随着厚度的增加,二者的比值接近于1,即在厚度较小时,尺寸效应明显,而在厚度较大时偶应力解与经典解差异很小.通过与解析解比较,可以看出本文方法的计算结果精度较高.图4为采用本文方法得到不同厚度下的微梁挠度曲线,从图4中可以看出随着厚度的减小,经典解与偶应力解的差异变大,当厚度减小至h=20 μm时,两种方法的结果出现较大背离,偶应力解呈现出较强的抵抗变形能力,而经典理论解则没有.这种差异说明是否考虑尺寸效应对结构响应的预测影响很大,在微结构中应予以考虑.

对于载荷和边界条件复杂的结构,采用解析方法求解比较困难,本文提出的半解析半数值方法,可以高精度求解这类偶应力问题.算例2以复杂载荷作用下的简支微梁为例,验证本文方法的有效性.

图3 悬臂微梁自由端挠度尺度效应解与经典解之比随厚度变化曲线
Fig.3 The variation in the maximum deflection of the cantilever micro-beam with the thickness

图4 悬臂微梁不同厚度下微梁挠度曲线
Fig.4 The deformation of the cantilever microbeam using different thickness

算例2图5所示简支梁,梁上作用有分布载荷q1=1 N/m,q2=2 N/m和集中力P=50 μN,微梁的宽度和长度分别为b=2 h和L=20 h,其他参数均与算例1相同.图6和图7分别为不同厚度下微梁挠度变化曲线.

从图6和图7可以看出,随着厚度的减小,经典理论解与偶应力理论解差异逐渐变大,尺寸效应所产生的影响较大,不可忽略.

图5 简支微梁简图
Fig.5 Schematic diagram of a simply supported micro-beam

图6 简支微梁不同厚度下的挠度变化曲线
Fig.6 The deformation of the simply supported micro-beam using different thickness

图7 简支微梁最大挠度尺度效应解与经典解之比随厚度变化曲线
Fig.7 The variation in the maximum deflection of the simply supported micro-beam with the thickness

3 结论

基于偶应力理论和最小势能原理,建立微梁状态向量间的传递关系,借助精细积分法求解传递矩阵,形成了一种分析微梁尺寸效应的传递矩阵法.这种方法原理简单,精度较高,而且可以方便地求解各种边界条件下微梁的变形.数值结果表明,本文的方法具有良好的精度和稳定性.通过分析不同边界条件和载荷作用下微梁的弯曲变形,可以看出:当微梁的尺寸与材料的尺度参数相当时,尺寸效应非常明显,在设计计算时需要考虑其影响.因此,在微机电系统中,考虑尺寸效应的影响对于预测微系统的响应具有重要意义.

参考文献:

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[4]苏文政,刘书田.一类多孔固体的等效偶应力动力学梁模型[J].力学学报,2016,48(1):111-126.

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The transfer matrix method for the size-dependent analysis of the micro-beam

LI Xiao-ni1,2,CHENG Tao*1
(1.School of Automobile and Traffic Engineering,Guangxi University of Science and Technology, Liuzhou 545006,China;2.School of Aerospace,Xi'an Jiaotong University,Xi'an 710049,China)

Abstract:The micro-beam is the common structure of MEMS(micro-electro-mechanical system),of which the size effects are the significant characteristic different from other beams.The first order differential equations and boundary conditions of the micro-beam bending deformation are derived from the couple stress theory and the principal of minimum potential energy.The transfer relations between the state vectors are established,and the state space equations are obtained.Precise integration method is used to solve the transfer matrix.So the transfer matrix method with high precision is set up to analyze the size-dependent effects of micro-beam.Several numerical examples are used to test the present method and the results show the validity of the method.

Key words:micro-beam;size-dependent effects;transfer matrix method;couple stress

中图分类号:TU31;O34

文献标志码::A

文章编号:2095-7335(2017)01-0091-06

DOI:10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2017.01.016

(学科编辑:张玉凤)

收稿日期:2016-08-08

基金项目:国家自然科学基金项目(41461082,81660296);广西高校科学技术研究项目(201204LX268)资助.

*通信作者:程涛,博士,副教授,研究方向:粉末冶金、复合材料的动力学分析与控制,E-mail:ctnp@163.com.